Algebra-Chapter1-Group

cldfd in math

--一个集合加上一个运算规则就是一个代数结构.

合成法则

集合$S$上的一个合成法则（又称二元运算） $F$ 是指一个映射：

​ $ S \times S \rightarrow S$

$S\times S$为$S$与$S$的笛卡尔积，其中的元素为有序对$(a,b):a,b\in S$

即把 $S$ 中的元素 $a,b$ 变换成 $S$ 中的另外一个元素.

一个合成法则作用在元素对$(a,b)$上的结果通常用$ab,a\times b,a+b,a \circ b$表示.

（任何采用某种记号的结果都可以以另一种记号改写）

通常先求值括号里的表达式.

合成法则的结合律是指：

​ $(ab)c = a(bc)$

合成法则的交换律是指：

​ $ab = ba$

【2.1.1】命题：

若集合$S$上的合成法则满足结合率，则有唯一一种方式来定义$S$中任意$n$个元素

​ $a_1,a_2,\dots,a_n$

的乘积，暂时记作$[a_1a_2\dots a_n]$，

（即$S$中$n$个元素乘积的结果与加括号的次序无关）

这个乘积有以下性质：

$(i)$：一个元素的乘积是其自身：$[a_1]=a_1$.

$(ii)$：两个元素的积$[a_1a_2]$由合成法则给出.

$(iii)$：对于任意整数$i$：$1\leqslant i < n$，有

​ $[a_1,a_2\dots a_n] = [a_1\dots a_i][a_{i+1}\dots a_n].$

（补充说明：等号右边是先计算出$q=[a_1\dots a_i]$，$p=[a_{i+1}\dots a_n]$，再按合成法则计算$pq$）

证明：

对$n$用数学归纳法.

$(i),(ii)$已定义$n\leqslant 2$时的乘积.

$n=2$时$(iii)$成立.

假设对于所有$r\leqslant n-1,r\in Z^{+}$已经定义了$r$个元素的乘积，且乘积是唯一的并满足$(iii)$，

按照$[a_1\dots a_n] = [a_1\dots a_{n-1}][a_n]$定义$n$个元素的乘积.

对于$i < n-1, i \in Z^{+} $ ，

$$ \begin{aligned} [a_1 \dots a_n] &= [a_1 \dots a_{n-1}][a_n] \\ &= ([a_1 \dots a_i][a_{i+1} \dots a_{n-1}])[a_n] \\ &= [a_1 \dots a_i]([a_{i+1} \dots a_{n-1}][a_n]) \\ &= [a_1 \dots a_i][a_{i+1} \dots a_n] \end{aligned} $$

故$(iii)$对于$n$成立.

证毕.

现在起表示乘积（只用于有结合率的合成法则）直接记作$a_1\dots a_n$.

元素$e\in S$称为（$S$上的）合成法则的恒等元，若$e$满足

​ 对任意$a\in S$，$ea = a = ae$

（$e$在合成法则为乘法时通常记为$1$，在合成法则为加法时通常记为$0$）

若$S$上有一个满足结合率且有恒等元$1$的合成法则（记作乘法），

$a\in S$是可逆的，若有$b \in S$使得

​ $ab=1$ 与 $ba=1$

如果上式成立，则$b$称为$a$的逆。

逆的性质

  • 如果$a$有左逆$l$与右逆$r$，即$la=1$与$ar=1$，则$l=r$，$a$是可逆的，且$r$是$a$的逆.

  • 若$a$是可逆的，则其逆是唯一的.（所以可以把元素$a$的逆记为$a^{-1}$或$-a$）

  • 若$a,b$均可逆，则乘积$ab$可逆，且

​ $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$.

  • 一个不可逆的元素$a$可以有左逆或右逆.

幂记号：

  • 对于$n\in Z^+$，$a^n = \underbrace{a\dots a}_{n个a}$，$a^{-n} = a^{-1}\dots a^{-1} = (a^n)^{-1}$.
  • 幂运算律（$a^r a^s = a^{r+s},(a^r)^s=a^{rs}$）成立.
  • 合成法则为加法时，幂运算记号$a^n$通常改为$na = \underbrace{a+\dots + a}_{n个a}$

群 与 子群

一个群是一个